Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Étape 4

Simplifiez

$3 \ln (| u |) + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + e^{x}$ .

$3 \ln (| 4 + e^{x} |) + C$