Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\int \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\int \frac{2 (x - 2)}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Étape 3

Laissez $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Alors $d u = (6 x - 12) d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = (x - 2) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12 x + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$6 x - 12$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Étape 4.2

Déplacez $6$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{6 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{2} - 12 x + 1 |) + C$