Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Étape 7

Simplifiez

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$