Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x + 18$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Étape 3

Laissez $u = (x - 1) (x + 4)$ . Alors $d u = (2 x + 3) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = (x - 1) (x + 4)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3

Différenciez.

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Étape 3.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.1.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Étape 3.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Étape 3.1.3.8.2

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Étape 3.1.3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Étape 3.1.3.8.4

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$2 x + 3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$