Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{12}{1 + 9 x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int \frac{1}{1 + 9 x^{2}} d x$

Étape 2

Factorisez $9$ à partir de $1 + 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $9$ à partir de $1$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Étape 2.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Étape 2.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + x^{2})} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $12$ .

$\frac{12}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (4)}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Étape 7.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Étape 7.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (x \cdot 3) + C)$

Étape 7.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$ comme $\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$ .

$\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{3} \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 7.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \arctan (3 x) + C$

Étape 7.3.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \arctan (3 x) + C$