Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{16 x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Étape 1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int \frac{x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x^{4} + 3$ . Alors $d u = 16 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 4 x^{4} + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $4 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{4} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $16 x^{3}$ et $0$ .

$16 x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$16 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{16} d u$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{16}$ .

$16 \int \frac{1}{u \cdot 16} d u$

Étape 3.2

Déplacez $16$ à gauche de $u$ .

$16 \int \frac{1}{16 u} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$16 (\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{16}$ et $16$ .

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{4} + 3$ .

$\ln (| 4 x^{4} + 3 |) + C$