Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Étape 1

Factorisez $5 x$ à partir de $10 x^{3} - 5 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $5 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $5 x$ à partir de $- 5 x$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Étape 1.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Alors $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

Étape 7.1.2

Différenciez.

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Étape 7.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Étape 7.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $6$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$2 u_{1} - 1 + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $2 u_{1} - 1$ et $0$ .

$2 u_{1} - 1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 8.2

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$