Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos^{3} (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int {u_{2}}^{3} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.2

Associez ${u_{2}}^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{8} \cos^{4} (2 x) + C$