Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} d t$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \sin (t)$ . Alors $d u = \cos (t) d t$ , donc $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \sin (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \sin (t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \sin (t)$ .

$\ln (| 1 + \sin (t) |) + C$