Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{4})}^{1}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = x^{4}$ . Alors $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ par $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Étape 4.3

Déplacez $4$ à gauche de $2 u_{1} + 1$ .

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 8.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$