Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de (5x+3)/(x^3-2x^2-3x) par rapport à x
Étape 1
Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Factorisez la fraction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.1.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.1.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.3
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.4
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 1.1.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.7
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.7.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.7.2
Divisez par .
Étape 1.1.8
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.8.1.2
Divisez par .
Étape 1.1.8.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.1.8.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.1.8.3.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.8.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.8.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.5.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.8.5.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.8.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.8.6.2
Divisez par .
Étape 1.1.8.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.8
Multipliez par .
Étape 1.1.8.9
Multipliez par .
Étape 1.1.8.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.11
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.8.11.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.8.11.2
Divisez par .
Étape 1.1.8.12
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.13
Multipliez par .
Étape 1.1.8.14
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.8.15
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.16
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.9
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.9.1
Déplacez .
Étape 1.1.9.2
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.1.9.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.1.9.4
Déplacez .
Étape 1.1.9.5
Déplacez .
Étape 1.1.9.6
Déplacez .
Étape 1.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.3
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.4
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 1.3
Résolvez le système d’équations.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Résolvez dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.1.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.1.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.1.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.2.4
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.3.3
Résolvez dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.3.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.3.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.3.2.3
Soustrayez de .
Étape 1.3.4
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.4.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.4.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.4.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.4.2.1.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.4.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.4.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.4.2.2.1.1
Additionnez et .
Étape 1.3.4.2.2.1.2
Additionnez et .
Étape 1.3.5
Résolvez dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.5.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.5.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.5.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.5.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.3.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.3.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.3.5.3.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.5.3.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.3.5.3.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.5.3.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3.5.3.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.6
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.6.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.6.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.6.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.6.2.1.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.6.2.1.1.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.6.2.1.1.1.1
Multipliez par .
Étape 1.3.6.2.1.1.1.2
Associez et .
Étape 1.3.6.2.1.1.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.6.2.1.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.6.2.1.3
Associez et .
Étape 1.3.6.2.1.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.6.2.1.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.6.2.1.5.1
Multipliez par .
Étape 1.3.6.2.1.5.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.7
Indiquez toutes les solutions.
Étape 1.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour , et .
Étape 1.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.5.4
Multipliez par .
Étape 1.5.5
Déplacez à gauche de .
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 6
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1
Différenciez .
Étape 6.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 6.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.1.5
Additionnez et .
Étape 6.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 7
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 8
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.1
Différenciez .
Étape 10.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 10.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 10.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 10.1.5
Additionnez et .
Étape 10.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 11
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 12
Simplifiez
Étape 13
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 13.2
Remplacez toutes les occurrences de par .