Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.1.2.5

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Étape 8.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.3.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 8.3.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.4.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 8.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 8.4.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 8.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$