Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\sin (x))$ , $(3 π, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3 π$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 1.3

Réorganisez les facteurs de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3 π$ .

$\cos (3 π) \cos (\sin (3 π))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (π) \cos (\sin (3 π))$

Étape 1.5.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0) \cos (\sin (3 π))$

Étape 1.5.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (3 π))$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 \cos (\sin (3 π))$

Étape 1.5.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 1 \cos (\sin (π))$

Étape 1.5.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 1 \cos (\sin (0))$

Étape 1.5.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 1 \cos (0)$

Étape 1.5.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.5.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(3 π, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (3 π))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 3 π)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 (- 3 π)$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 (- 3 π)$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - x + 3 π$

Étape 3