Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 4 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 4 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $16$ à partir de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $16 \cos^{2} (t)$ comme ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

Étape 2.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

Étape 3

Comme $64$ est constant par rapport à $t$ , placez $64$ en dehors de l’intégrale.

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\sin^{2} (t)$ .

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (t)$ comme $1 - \cos^{2} (t)$ .

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Étape 6

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (t)$ .

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{4})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.8

Multipliez $\frac{4 + x}{4}$ par $\frac{4 - x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.10

Réécrivez $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Étape 12.1.10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(4 + x) (4 - x)$ .

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.10.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.1.12

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ dans le numérateur.

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 12.4.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 12.4.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 12.4.4

Réécrivez l’expression.

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 12.5

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.8

Multipliez $\frac{4 + x}{4}$ par $\frac{4 - x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.10

Réécrivez $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Étape 12.6.10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(4 + x) (4 - x)$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.10.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.12

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

Étape 12.6.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.14.1

Réécrivez ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ comme $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.2

Appliquez la règle de produit à $(4 + x) (4 - x)$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.3

Réécrivez ${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ comme ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Étape 12.6.14.3.1

Factorisez ${(4 + x)}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.3.2

Factorisez ${(4 - x)}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.3.3

Déplacez $4 + x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.3.4

Réécrivez ${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ comme ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.3.5

Ajoutez des parenthèses.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.5

Développez $(4 + x) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.6.14.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.6.14.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.6.14.6.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.6.14.6.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.6.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.8

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

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Étape 12.6.14.8.1

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.8.2

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.8.3

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.9

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.14.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

Étape 12.6.15

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

Étape 12.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Étape 12.7.2

Multipliez $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 12.7.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Étape 12.7.2.2

Multipliez $64$ par $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

Étape 12.7.3

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 12.7.3.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

Étape 12.7.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Étape 12.7.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Étape 12.8

Pour écrire $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Étape 12.9

Associez $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Étape 12.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Étape 12.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.11.1

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ .

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Étape 12.11.1.1

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Étape 12.11.1.2

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Étape 12.11.1.3

Factorisez $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ à partir de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Étape 12.11.2

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Étape 12.11.3

Développez $(4 + x) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.11.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

Étape 12.11.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

Étape 12.11.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Étape 12.11.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.11.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.11.4.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Étape 12.11.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Étape 12.11.4.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

Étape 12.11.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

Étape 12.11.4.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.11.4.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

Étape 12.11.4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

Étape 12.11.4.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

Étape 12.11.4.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

Étape 12.11.5

Additionnez $- 48$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

Étape 12.12

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

Étape 12.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

Étape 12.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (32) - (x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

Étape 12.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$