Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Réorganisez les termes.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 3

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 6

Simplifiez

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 7

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 11

Simplifiez

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$