Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{4}}{x^{5} - 3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{5} - 3$ . Alors $d u = 5 x^{4} d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{5} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{5} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$5 x^{4}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Étape 2.2

Déplacez $5$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} - 3$ .

$\frac{1}{5} \ln (| x^{5} - 3 |) + C$