Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{x}) d x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\cos (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Alors $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \cos (u) d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$- \sin (u) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) + C$