Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Inversez l’exposant de $e^{x^{3}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- x^{3}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$