Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Étape 4.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Étape 4.1.4

Réorganisez les termes.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 7

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Étape 7.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$