Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

Étape 1

Laissez $x = 5 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $25$ à partir de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $25 \tan^{2} (t)$ comme ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $5 \sec (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $5 \sec (t)$ à partir de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int 5 \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 3

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Étape 4

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 5 \tan^{2} (t) d t$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \tan^{2} (t) d t$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$5 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$5 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 11

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$5 (- t + C + \tan (t) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$5 (- t + \tan (t)) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \tan (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{5})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ est $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}) + C$

Étape 14.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Étape 14.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{5}$ et $b = 1$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Étape 14.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Étape 14.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Étape 14.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}) + C$

Étape 14.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}) + C$

Étape 14.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}) + C$

Étape 14.1.9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}) + C$

Étape 14.1.10

Multipliez $\frac{x + 5}{5}$ par $\frac{x - 5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}) + C$

Étape 14.1.11

Multipliez $5$ par $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}}) + C$

Étape 14.1.12

Réécrivez $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ comme ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Étape 14.1.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 5) (x - 5)$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}) + C$

Étape 14.1.12.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}) + C$

Étape 14.1.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) + C$

Étape 14.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + C$

Étape 14.1.14

Associez $\frac{1}{5}$ et $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Étape 14.2

Pour écrire $- arcsec (\frac{x}{5})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Étape 14.3

Associez $- arcsec (\frac{x}{5})$ et $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 14.5.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Étape 14.5.2

Réécrivez l’expression.

$- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Étape 14.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 arcsec (\frac{1}{5} x) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$