Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t)$ comme ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{2}{3 \sec (t)}$ et $3$ .

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{6}{3 \sec (t)}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ par $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.9

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.10

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.13

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (t)$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

Étape 2.2.14

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

Étape 2.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Étape 2.2.15

Annulez le facteur commun de $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.15.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Étape 2.2.15.2

Divisez $3 \tan^{2} (t)$ par $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{2 x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{2 x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ est $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Étape 10.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Étape 10.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{2 x}{3}$ et $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Étape 10.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Étape 10.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Étape 10.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Étape 10.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Étape 10.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Étape 10.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

Étape 10.1.10

Multipliez $\frac{2 x + 3}{3}$ par $\frac{2 x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Étape 10.1.11

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

Étape 10.1.12

Réécrivez $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ .

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Étape 10.1.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

Étape 10.1.12.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Étape 10.1.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

Étape 10.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

Étape 10.1.14

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Étape 10.2

Pour écrire $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Étape 10.3

Associez $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Étape 10.5.2

Réécrivez l’expression.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Étape 10.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$