Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Retirez $x^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Étape 1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Alors $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{3}} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 2.1.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Étape 2.1.5.2.2

Additionnez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 3 u d u$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int u d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Étape 5.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$