Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \tan^{2} (t)$ comme ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2 \tan (t)}$ par $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

Étape 4

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$