Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.5

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{2} d t$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} t + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$