Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x \ln (3 x)} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \ln (3 x)$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \ln (3 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x}$ .

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (3 x)$ .

$\ln (| \ln (3 x) |) + C$