Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x \ln^{8} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{8}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{8}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{8})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{8})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{8 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\int u^{- 8} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 8}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{7} u^{- 7}$ .

$- \frac{1}{7} u^{- 7} + C$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $- \frac{1}{7} u^{- 7} + C$ comme $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{u^{7}} + C$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{u^{7}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{7}}$ par $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{u^{7} \cdot 7} + C$

Étape 4.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $u^{7}$ .

$- \frac{1}{7 u^{7}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{7 \ln^{7} (x)} + C$