Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{4 + 9 x^{2}} d x$

Étape 1

Factorisez $9$ à partir de $4 + 9 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $9$ à partir de $4$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{4}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{4}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Étape 1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (\frac{4}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{4}{9} + x^{2})} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{4}{9} + x^{2}} d x$

Étape 3

Réécrivez $\frac{4}{9}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{2}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{2}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{2}) \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C)$

Étape 5.1.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C)$

Étape 5.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (x \frac{3}{2}) + C)$

Étape 5.1.4

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (\frac{x \cdot 3}{2}) + C)$

Étape 5.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (\frac{3 \cdot x}{2}) + C)$

Étape 5.1.6

Associez $\frac{3}{2}$ et $\arctan (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{2})}{2} + C)$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{2})}{2} + C)$ comme $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Étape 5.3.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{3}{18} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $18$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{18} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$