Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.3.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + 0$

Étape 1.3.3

Additionnez $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$20 x^{3} - 30 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} - 30 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $20 x^{3} - 30 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x^{3} - 30 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$60 x^{2} - 30 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 30$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 x^{2} - 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$120 x + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $120 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $120 x$ .

$120 x$