Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} + 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 x^{2} + 6 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 12 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 x + 12 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 12$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.2.3

Multipliez $30$ par $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$30 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $30$ et $0$ .

$f''' (x) = 30$

Étape 4

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$