Calcul infinitésimal Exemples

$4 t^{2} + 6 t + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{2} + 6 t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{2}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$8 t + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 t + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$8 t + 6 + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 t + 6 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $8 t + 6$ et $0$ .

$f' (t) = 8 t + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 t + 6$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [8 t]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

Étape 2.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d t} [6]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$f'' (t) = 8$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f''' (t) = 0$

Étape 4

Comme $0$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f^{4} (t) = 0$