Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $y^{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{4} y^{7}$ par rapport à $x$ est $y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$y^{7} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Étape 1.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $y^{7}$ .

$4 y^{7} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4 y^{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{8} y^{6}$ par rapport à $x$ est $4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} (8 x^{7})$

Étape 1.3.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$4 y^{7} x^{3} + 32 y^{6} x^{7}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4 y^{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{7} x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 y^{7} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 y^{7} x^{2} + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $32 y^{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{7} y^{6}$ par rapport à $x$ est $32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} (7 x^{6})$

Étape 2.3.3

Multipliez $7$ par $32$ .

$12 y^{7} x^{2} + 224 y^{6} x^{6}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12 y^{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 y^{7} x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 y^{7} (2 x) + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 y^{7} x + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $224 y^{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $224 x^{6} y^{6}$ par rapport à $x$ est $224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$24 y^{7} x + 224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$24 y^{7} x + 224 y^{6} (6 x^{5})$

Étape 3.3.3

Multipliez $6$ par $224$ .

$f''' (x) = 24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $24 y^{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 y^{7} x$ par rapport à $x$ est $24 y^{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 y^{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Étape 4.2.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$24 y^{7} + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $1344 y^{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1344 y^{6} x^{5}$ par rapport à $x$ est $1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 y^{7} + 1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$24 y^{7} + 1344 y^{6} (5 x^{4})$

Étape 4.3.3

Multipliez $5$ par $1344$ .

$f^{4} (x) = 24 y^{7} + 6720 y^{6} x^{4}$