Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x^{2}} + 11 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x^{2}} + 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} (11 x)$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [11 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $11$ par $1$ .

$f' (x) = e^{x^{2}} (2 x) + 11$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 e^{x^{2}} x + 11$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x + 11$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2}} + 11$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x e^{x^{2}} + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.10

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.2.11

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (11)$

Étape 2.3

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2}})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f''' (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $8 e^{x^{2}} x$ et $4 e^{x^{2}} x$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ .

$f''' (x) = 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3} e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.6.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = 8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (12 x e^{x^{2}})$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2}})$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \cdot x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.3.11

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = 8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.3.4

Additionnez $24 e^{x^{2}} x^{2}$ et $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

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Étape 4.4.3.4.1

Déplacez $e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.3.4.2

Additionnez $24 x^{2} e^{x^{2}}$ et $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$

Étape 4.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$