Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.3

Associez $5$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{20}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{4}$ par $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{4} - 7 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{4} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $16 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 16 x^{3}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$16 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f''' (x) = 48 x^{2}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$48 (2 x)$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f^{4} (x) = 96 x$