Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x - \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 3.3.2

Associez des termes.

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Étape 3.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

Étape 4.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$6 x^{- 4}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.5.2

Associez $6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$