Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.9

Associez $3$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 (- x^{- 2})$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 x^{- 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 x^{- 3} - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 4 x^{- 3} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 x^{- 3} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{4}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{4}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 2$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5.2.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Étape 3.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Étape 3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

Étape 3.3.9.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

Étape 3.3.10

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

Étape 3.3.11

Associez $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

Étape 3.3.12

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{8}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.12.1

Déplacez $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Étape 3.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 3.3.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

Étape 3.3.12.4

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

Étape 3.3.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

Étape 3.3.13

Placez $x^{- \frac{7}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

Étape 3.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$12 x^{- 4} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 3.3.15

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$12 x^{- 4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 3.3.16

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Étape 3.3.17

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Étape 3.3.18

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x^{- 4} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 3.4.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4}$ .

$12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 4.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$12 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$12 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$12 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$12 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.2.8

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $\frac{8}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{7}{3}}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\frac{7}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 4.3.5.2.1

Associez $\frac{7}{3}$ et $- 2$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 2}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Étape 4.3.5.2.2

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{- 14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Étape 4.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Étape 4.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 4.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 4.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 4.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}))$

Étape 4.3.9.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}))$

Étape 4.3.10

Associez $\frac{7}{3}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3})$

Étape 4.3.11

Associez $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{14}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{14}{3}}}{3})$

Étape 4.3.12

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x^{- \frac{14}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.12.1

Déplacez $x^{- \frac{14}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{14}{3}} x^{\frac{4}{3}})}{3})$

Étape 4.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{14}{3} + \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 4.3.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 4}{3}}}{3})$

Étape 4.3.12.4

Additionnez $- 14$ et $4$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 10}{3}}}{3})$

Étape 4.3.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{10}{3}}}{3})$

Étape 4.3.13

Placez $x^{- \frac{10}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}})$

Étape 4.3.14

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $\frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}}$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{8 \cdot 7}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

Étape 4.3.15

Multipliez $8$ par $7$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

Étape 4.3.16

Multipliez $3$ par $9$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Associez $- 48$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Étape 4.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$