Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.3.9

Associez $- 3$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3.12

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.2.16

Associez $2$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1})$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3} \cdot - 1})$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}})$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{3}})$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{3}})$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

Étape 3.9

Associez $x^{- \frac{7}{3}}$ et $\frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.11

Multipliez.

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Étape 3.11.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{9}$

Étape 3.11.3

Placez $x^{- \frac{7}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- \frac{8}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{3} \cdot - 1}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{7}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Associez $\frac{7}{3}$ et $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}}$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{3}}$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{3}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 3}{3}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $3$ de $- 7$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 10}{3}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{10}{3}})$

Étape 4.9

Associez $x^{- \frac{10}{3}}$ et $\frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3})$

Étape 4.10

Multipliez.

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{8}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Étape 4.10.2

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{8}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $\frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 (x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7)}{9 \cdot 3}$

Étape 4.12

Multipliez.

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Étape 4.12.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{9 \cdot 3}$

Étape 4.12.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{27}$

Étape 4.12.3

Placez $x^{- \frac{10}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$