Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \ln (8 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (8 x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{1}{8 x}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (8 x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{8} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.4.1

Associez $8$ et $\frac{x}{8}$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.4.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{8 x}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (8 x) (2 x)$

Étape 1.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (8 x) + x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \ln (8 x) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (8 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (8 x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{8 x}$ et $8$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.9

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{8}{8 x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.10

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.12

Multipliez $\ln (8 x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (8 x) + 1$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (8 x) + 3$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \ln (8 x) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \ln (8 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (8 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot \frac{d}{d x} (8 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot (8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{1}{8 x}$ et $8$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f''' (x) = 2 (\frac{8}{8 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.8

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $\frac{2}{x}$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.5.2

Associez des termes.

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Étape 4.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$