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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 1.2
Différenciez.
Étape 1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.6
Simplifiez l’expression.
Étape 1.2.6.1
Additionnez et .
Étape 1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.6
Additionnez et .
Étape 1.7
Soustrayez de .
Étape 2
Étape 2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.2
Différenciez.
Étape 2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.5
Multipliez par .
Étape 2.2.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.7
Additionnez et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez.
Étape 2.4.1
Multipliez par .
Étape 2.4.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.5
Simplifiez l’expression.
Étape 2.4.5.1
Additionnez et .
Étape 2.4.5.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.4.5.3
Multipliez par .
Étape 2.5
Simplifiez
Étape 2.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.3.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.5.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 2.5.3.1.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 2.5.3.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.4
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 2.5.3.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.3.1.4.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.5.3.1.4.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.4.1.1.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.4.1.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.4.1.3
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.4.1.4
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.4.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.6
Simplifiez
Étape 2.5.3.1.6.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.6.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.8
Simplifiez
Étape 2.5.3.1.8.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.5.3.1.8.1.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.8.1.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.8.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.8.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.8.1.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.8.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.5.3.1.8.2.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.8.2.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.8.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.8.2.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.9
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.3.1.9.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.9.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.10
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.3.1.10.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.5.3.1.10.1.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.10.1.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.10.1.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.10.1.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.10.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.11
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 2.5.3.1.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3.1.12
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 2.5.3.1.12.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.3.1.12.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.5.3.1.12.1.1.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.12.1.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.12.1.1.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.12.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.5.3.1.12.1.2.1
Déplacez .
Étape 2.5.3.1.12.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.1.12.1.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.5.3.1.12.1.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.5.3.1.12.1.2.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.1.12.2
Soustrayez de .
Étape 2.5.3.1.12.3
Additionnez et .
Étape 2.5.3.2
Additionnez et .
Étape 2.5.3.3
Soustrayez de .
Étape 2.5.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.5.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.5.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.5.4.4
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 2.5.4.4.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 2.5.4.4.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 2.5.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.5.5
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.5.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.5.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.5.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.5.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.5.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3
Étape 3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 3.3
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.3.2
Multipliez par .
Étape 3.4
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 3.5
Différenciez.
Étape 3.5.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.5.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.4
Additionnez et .
Étape 3.6
Élevez à la puissance .
Étape 3.7
Élevez à la puissance .
Étape 3.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Étape 3.9.1
Additionnez et .
Étape 3.9.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.9.3
Simplifiez en ajoutant des termes.
Étape 3.9.3.1
Multipliez par .
Étape 3.9.3.2
Additionnez et .
Étape 3.10
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.10.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.10.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.10.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.11
Simplifiez en factorisant.
Étape 3.11.1
Multipliez par .
Étape 3.11.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.11.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.11.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.11.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.12
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.12.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.12.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.13
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.14
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.16
Simplifiez l’expression.
Étape 3.16.1
Additionnez et .
Étape 3.16.2
Multipliez par .
Étape 3.17
Élevez à la puissance .
Étape 3.18
Élevez à la puissance .
Étape 3.19
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.20
Additionnez et .
Étape 3.21
Associez et .
Étape 3.22
Simplifiez
Étape 3.22.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.22.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.22.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.22.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.22.3.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 3.22.3.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.22.3.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.22.3.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.22.3.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 3.22.3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.22.3.1.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.22.3.1.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.22.3.1.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 3.22.3.1.2.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.22.3.1.2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 3.22.3.1.2.1.3
Déplacez à gauche de .
Étape 3.22.3.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 3.22.3.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 3.22.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 3.22.3.1.2.3
Additionnez et .
Étape 3.22.3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.22.3.1.4
Multipliez par .
Étape 3.22.3.1.5
Multipliez par .
Étape 3.22.3.1.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.22.3.1.6.1
Déplacez .
Étape 3.22.3.1.6.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.22.3.1.6.3
Additionnez et .
Étape 3.22.3.1.7
Multipliez par .
Étape 3.22.3.1.8
Multipliez par .
Étape 3.22.3.1.9
Multipliez par .
Étape 3.22.3.2
Soustrayez de .
Étape 3.22.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 3.22.5
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.5.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.5.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.5.5
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.6
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.7
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.8
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.9
Réécrivez comme .
Étape 3.22.10
Factorisez à partir de .
Étape 3.22.11
Réécrivez comme .
Étape 3.22.12
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4
Étape 4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 4.3
Différenciez.
Étape 4.3.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 4.3.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.3.1.2
Multipliez par .
Étape 4.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.6
Multipliez par .
Étape 4.3.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.8
Additionnez et .
Étape 4.4
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.5
Simplifiez en factorisant.
Étape 4.5.1
Multipliez par .
Étape 4.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.6
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.6.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.6.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.7
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.10
Associez les fractions.
Étape 4.10.1
Additionnez et .
Étape 4.10.2
Multipliez par .
Étape 4.10.3
Associez et .
Étape 4.10.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.11
Simplifiez
Étape 4.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.11.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.11.4.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 4.11.4.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.4.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.4.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.4.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 4.11.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.11.4.1.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 4.11.4.1.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.11.4.1.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 4.11.4.1.2.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.11.4.1.2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 4.11.4.1.2.1.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 4.11.4.1.2.1.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.11.4.1.2.1.4.1
Déplacez .
Étape 4.11.4.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.2.1.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.11.4.1.2.1.4.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.11.4.1.2.1.4.3
Additionnez et .
Étape 4.11.4.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 4.11.4.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.11.4.1.4
Simplifiez
Étape 4.11.4.1.4.1
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.4.2
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.4.3
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.11.4.1.5.1
Déplacez .
Étape 4.11.4.1.5.2
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.5.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.11.4.1.5.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.11.4.1.5.3
Additionnez et .
Étape 4.11.4.1.6
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.7
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.11.4.1.7.1
Déplacez .
Étape 4.11.4.1.7.2
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.7.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.11.4.1.7.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.11.4.1.7.3
Additionnez et .
Étape 4.11.4.1.8
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.9
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.10
Multipliez par .
Étape 4.11.4.1.11
Multipliez par .
Étape 4.11.4.2
Soustrayez de .
Étape 4.11.4.3
Additionnez et .
Étape 4.11.4.4
Soustrayez de .
Étape 4.11.5
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.5.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.5.4
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.5.5
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.6
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.7
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.8
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.9
Réécrivez comme .
Étape 4.11.10
Factorisez à partir de .
Étape 4.11.11
Réécrivez comme .
Étape 4.11.12
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.11.13
Multipliez par .
Étape 4.11.14
Multipliez par .
Étape 4.11.15
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .