Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

Étape 1.2.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

Étape 1.2.6.2

Associez $\frac{1}{3 x - 1}$ et $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{3 x - 1}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{3 x - 1}$ comme ${(3 x - 1)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Associez $- 9$ et $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ comme ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $3$ par $18$ .

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 3.4.2

Associez $54$ et $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ comme ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 4.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $- 3$ par $54$ .

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $3$ par $- 162$ .

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

Étape 4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Associez $- 486$ et $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 4.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$