Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \cos (2 x) \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f''' (x) = - 8 \cos (2 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 4.3.5

Multipliez $16$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \sin (2 x)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 \sin (2 x)$ .

$16 \sin (2 x)$