Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \cos (x^{2}) (2 x)$

Étape 1.2.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$f' (x) = 2 x \cos (x^{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $\cos (x^{2})$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = - 4 (x^{1 + 2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x^{2})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x^{2}))$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x^{2}))$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 4 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f''' (x) = - 8 (x^{3} (\cos (x^{2}))) - 4 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 8 (\sin (x^{2}) (x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.2.3

Soustrayez $4 \sin (x^{2}) x$ de $- 8 \sin (x^{2}) x$ .

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 12 x \sin (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3} \cos (x^{2})]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3} \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 8 \frac{d}{d x} (x^{3} \cos (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.7

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.7.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{1 + 3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.2.7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 12 x \sin (x^{2}))$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x \sin (x^{2})]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 \frac{d}{d x} (x \sin (x^{2}))$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \frac{d}{d x} (\sin (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \cdot x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \cdot x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.3.11

Multipliez $\sin (x^{2})$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2}))) - 8 (\cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (- 2 \sin (x^{2}))) - 8 (\cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 (x^{4} (\sin (x^{2}))) - 8 (\cos (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Étape 4.4.3.2

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 24 (\cos (x^{2}) (x^{2})) - 12 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Étape 4.4.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 24 \cos (x^{2}) x^{2} - 24 (x^{2} (\cos (x^{2}))) - 12 \sin (x^{2})$

Étape 4.4.3.4

Soustrayez $24 x^{2} \cos (x^{2})$ de $- 24 \cos (x^{2}) x^{2}$ .

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Étape 4.4.3.4.1

Déplacez $\cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 24 x^{2} \cos (x^{2}) - 24 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$

Étape 4.4.3.4.2

Soustrayez $24 x^{2} \cos (x^{2})$ de $- 24 x^{2} \cos (x^{2})$ .

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \sin (x^{2}) - 48 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x^{4} \sin (x^{2}) - 48 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$ .

$16 x^{4} \sin (x^{2}) - 48 x^{2} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2})$