Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(2 x - 5)}^{7}}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(2 x - 5)}^{7}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{7}] - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} (2 + 0)) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (7 {(2 x - 5)}^{6} \cdot 2) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez ${(2 x - 5)}^{6}$ à partir de $x (14 {(2 x - 5)}^{6}) - {(2 x - 5)}^{7}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez ${(2 x - 5)}^{6}$ à partir de $x (14 {(2 x - 5)}^{6})$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) - {(2 x - 5)}^{7}}{2 x^{2}}$

Étape 5.1.2

Factorisez ${(2 x - 5)}^{6}$ à partir de $- {(2 x - 5)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Étape 5.1.3

Factorisez ${(2 x - 5)}^{6}$ à partir de ${(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14)) + {(2 x - 5)}^{6} (- (2 x - 5))$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (x \cdot (14) - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Étape 5.2

Déplacez $14$ à gauche de $x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x - 5))}{2 x^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - (2 x) - - 5)}{2 x^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x - - 5)}{2 x^{2}}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (14 x - 2 x + 5)}{2 x^{2}}$

Étape 5.6

Soustrayez $2 x$ de $14 x$ .

$\frac{{(2 x - 5)}^{6} (12 x + 5)}{2 x^{2}}$