Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 4 - 7 x$ .

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $4 - 7 x$ par $1$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9.2

Additionnez $- 7 x$ et $7 x$ .

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.9.3.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ comme ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = - 7 x + 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x + 4$ .

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $- 7$ et $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $- 7$ par $- 8$ .

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez $56$ et $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ comme ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = - 7 x + 4$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 x + 4$ .

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x + 4$ .

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 3$ par $56$ .

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $- 7$ et $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $- 7$ par $- 168$ .

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Associez $1176$ et $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $1176$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ .

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ comme ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = - 7 x + 4$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 x + 4$ .

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x + 4$ .

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 4$ par $1176$ .

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4.3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4.3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.7.1

Additionnez $- 7$ et $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $- 7$ par $- 4704$ .

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Étape 4.4.2

Associez $32928$ et $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$