Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $2 - 11 x$ par $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9.2

Additionnez $- 11 x$ et $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ comme ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = - 11 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 11 x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 11 x + 2$ .

$2 (- 2 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 ({(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 11 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3.3

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Additionnez $- 11$ et $0$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \cdot - 11$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $- 11$ par $- 4$ .

$44 {(- 11 x + 2)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$44 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez $44$ et $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Comme $44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$ .

$44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ comme ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

$44 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = - 11 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 11 x + 2$ .

$44 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$44 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 11 x + 2$ .

$44 (- 3 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $- 3$ par $44$ .

$- 132 ({(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 11 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3.3

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.7.1

Additionnez $- 11$ et $0$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \cdot - 11$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $- 11$ par $- 132$ .

$1452 {(- 11 x + 2)}^{- 4}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1452 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Associez $1452$ et $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Comme $1452$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$ .

$1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ comme ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{4 \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 4}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = - 11 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 11 x + 2$ .

$1452 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$1452 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 11 x + 2$ .

$1452 (- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 4.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $- 4$ par $1452$ .

$- 5808 ({(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 11 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.3.3

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + 0)$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Additionnez $- 11$ et $0$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \cdot - 11$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $- 11$ par $- 5808$ .

$63888 {(- 11 x + 2)}^{- 5}$

Étape 4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$63888 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

Étape 4.4.2

Associez $63888$ et $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$