Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[15]{7 x + 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[15]{7 x + 5}$ comme ${(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{15}}$ et $g (x) = 7 x + 5$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{15}$ .

$f' (x) = \frac{1}{15} u^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{15}{15}$ .

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.6.2

Soustrayez $15$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{15}$ et ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ .

$f' (x) = \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.7.3

Placez ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 1.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 1.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 1.12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 + 0)$

Étape 1.13

Associez les fractions.

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Étape 1.13.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot 7$

Étape 1.13.2

Associez $\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ et $7$ .

$f' (x) = \frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $\frac{7}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}})$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ comme ${({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1})$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15} \cdot - 1})$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{14}{15} \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{14}{15}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{14 \cdot - 1}{15}})$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}})$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{14}{15}}$ et $g (x) = 7 x + 5$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{14}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{14}{15}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} u^{- \frac{14}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.6.2

Soustrayez $15$ de $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.7.2

Associez ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ et $\frac{14}{15}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}} \cdot 14}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.3.1

Déplacez $14$ à gauche de ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.7.3.2

Placez ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 2.7.4

Multipliez $\frac{7}{15}$ par $\frac{14}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{7 \cdot 14}{15 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 2.7.5

Multipliez.

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Étape 2.7.5.1

Multipliez $7$ par $14$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{15 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 2.7.5.2

Multipliez $15$ par $15$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 2.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 2.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 2.12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 + 0)$

Étape 2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.13.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot 7$

Étape 2.13.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

Étape 2.13.3

Associez $- 7$ et $\frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 7 \cdot 98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

Étape 2.13.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.4.1

Multipliez $- 7$ par $98$ .

$f'' (x) = \frac{- 686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

Étape 2.13.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $- \frac{686}{225}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{686}{225} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ comme ${({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15} \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{29}{15} \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.2.2.1

Associez $\frac{29}{15}$ et $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{29 \cdot - 1}{15}}$

Étape 3.1.2.2.2.2

Multipliez $29$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{- 29}{15}}$

Étape 3.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{29}{15}}$ et $g (x) = 7 x + 5$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 5$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{29}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{29}{15}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} u^{- \frac{29}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 5$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{15}{15}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.6.2

Soustrayez $15$ de $- 29$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7.2

Associez ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ et $\frac{29}{15}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}} \cdot 29}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Déplacez $29$ à gauche de ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7.3.2

Placez ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{686}{225}) \cdot (\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7.3.4

Multipliez $\frac{686}{225}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{686}{225} \cdot (\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 3.7.4

Multipliez $\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ par $\frac{686}{225}$ .

$f''' (x) = \frac{29 \cdot 686}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}} \cdot 225} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 3.7.5

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.5.1

Multipliez $29$ par $686$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}} \cdot 225} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 3.7.5.2

Multipliez $225$ par $15$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 3.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 3.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 3.12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 + 0)$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot 7$

Étape 3.13.2

Associez $\frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ et $7$ .

$f''' (x) = \frac{19894 \cdot 7}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$

Étape 3.13.3

Multipliez $19894$ par $7$ .

$f''' (x) = \frac{139258}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $\frac{139258}{3375}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{139258}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{139258}{3375} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}})$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ comme ${({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1})$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15} \cdot - 1})$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{44}{15} \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Associez $\frac{44}{15}$ et $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{44 \cdot - 1}{15}})$

Étape 4.1.2.2.2.2

Multipliez $44$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{- 44}{15}})$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}})$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{44}{15}}$ et $g (x) = 7 x + 5$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{44}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{44}{15}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} u^{- \frac{44}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{15}{15}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.6.2

Soustrayez $15$ de $- 44$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 59}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.7.2

Associez ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ et $\frac{44}{15}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}} \cdot 44}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.1

Déplacez $44$ à gauche de ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.7.3.2

Placez ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

Étape 4.7.4

Multipliez $\frac{139258}{3375}$ par $\frac{44}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{139258 \cdot 44}{3375 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 4.7.5

Multipliez.

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Étape 4.7.5.1

Multipliez $139258$ par $44$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{3375 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 4.7.5.2

Multipliez $15$ par $3375$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 4.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 4.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

Étape 4.12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 + 0)$

Étape 4.13

Associez les fractions.

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Étape 4.13.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot 7$

Étape 4.13.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 7 \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

Étape 4.13.3

Associez $- 7$ et $\frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 7 \cdot 6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

Étape 4.13.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.13.4.1

Multipliez $- 7$ par $6127352$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

Étape 4.13.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ .

$- \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$