Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\ln (x)}{10 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\ln (x)}{10 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$

Étape 2.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

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Étape 2.5.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 2.5.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 2.5.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{10 x^{3}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.2.1.2

Multipliez $- 2 (- \ln (x))$ .

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Étape 2.8.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.2.1.2.2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.3

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Étape 2.8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$

Étape 3.2

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.5.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.2.2.4

Divisez $x$ par $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 3.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.11.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.11.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

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Étape 3.11.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.11.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Étape 3.11.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Étape 3.12

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.12.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.12.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Étape 3.13

Multipliez $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ par $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 10}$

Étape 3.14

Déplacez $10$ à gauche de $x^{4}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{10 \cdot x^{4}}$

Étape 3.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.2.1.2

Multipliez $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

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Étape 3.15.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.2.1.2.2

Simplifiez $3 \ln (x^{2})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$- \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.15.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.2.2

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$- \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.3

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$- \frac{- 1 (11) + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (x^{6})$ .

$- \frac{- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$- \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Étape 3.15.8

Multipliez $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$

Étape 4.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 - \ln (x^{6})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.3.3

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x^{6})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{6}$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.5.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{6}$ .

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Étape 4.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.5.4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.3

Associez $\frac{- 6}{x^{2}}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.4

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.5.4.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.4.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.4.4.2.4

Divisez $- 6 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 4.5.6

Associez les fractions.

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Étape 4.5.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.5.6.2

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot 11 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3.1.2

Multipliez $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

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Étape 4.6.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3.1.2.2

Simplifiez $4 \ln (x^{6})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{4}$ .

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Étape 4.6.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3.1.3.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3.2

Soustrayez $44 x^{3}$ de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ .

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Étape 4.6.4.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 50 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.4.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \ln (x^{24})$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.4.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ .

$\frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.5

Développez $\ln (x^{24})$ en déplaçant $24$ hors du logarithme.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{10 x^{8}}$

Étape 4.6.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.6.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $10 x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Étape 4.6.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Étape 4.6.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 50 + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Étape 4.6.7

Annulez le facteur commun à $- 50 + 24 \ln (x)$ et $10$ .

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Étape 4.6.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$\frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Étape 4.6.7.2

Factorisez $2$ à partir de $24 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Étape 4.6.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ .

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Étape 4.6.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Étape 4.6.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Étape 4.6.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 25 + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Étape 4.6.8

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$\frac{- 1 (25) + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Étape 4.6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $12 \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (25) - (- 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Étape 4.6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (25 - 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Étape 4.6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$