Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \ln (x) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \ln (x) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $\frac{2}{x}$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.5.2

Associez des termes.

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Étape 4.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$