Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

Étape 1.2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$f' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ .

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{6})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$f'' (x) = 14 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{6}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(x^{2} + 7)}^{6}$ par $1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Étape 2.11.2

Multipliez $12$ par $14$ .

$f'' (x) = 168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Étape 2.11.3

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ à partir de $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ à partir de $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ à partir de $14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ à partir de $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

Étape 2.11.4

Additionnez $12 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)]$ .

$f''' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x^{2} + 7)}^{5}$ et $g (x) = 13 x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (13 x^{2} + 7) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $13 x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (13 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3.2

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 x^{2}$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $13$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + 0) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $26 x$ et $0$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $26$ à gauche de ${(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$f''' (x) = 14 (26 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $5$ à gauche de $13 x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 \cdot ((13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)))$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} (7)))$

Étape 3.5.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + 0))$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x))$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 10 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Étape 3.6.3

Multipliez $26$ par $14$ .

$f''' (x) = 364 ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Étape 3.6.4

Multipliez $13$ par $10$ .

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Étape 3.6.5

Multipliez $10$ par $7$ .

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Étape 3.6.6

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ à partir de $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ .

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Étape 3.6.6.1

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ à partir de $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$

Étape 3.6.6.2

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ à partir de $14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$

Étape 3.6.6.3

Factorisez $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ à partir de $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

Étape 3.6.7

Réorganisez les facteurs de $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$ .

$f''' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 26 \cdot 7 + 130 x^{2} + 70))$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $26$ par $7$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 182 + 130 x^{2} + 70))$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $26 x^{2}$ et $130 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 182 + 70))$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $182$ et $70$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

Étape 4.1.3

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)]$ .

$f^{4} (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x {(x^{2} + 7)}^{4}$ et $g (x) = 156 x^{2} + 252$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (156 x^{2} + 252) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $156 x^{2} + 252$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [156 x^{2}] + \frac{d}{d x} [252]$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (156 x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.3.2

Comme $156$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $156 x^{2}$ par rapport à $x$ est $156 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 (2 x) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.3.4

Multipliez $2$ par $156$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.3.5

Comme $252$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $252$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + 0) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.3.6

Additionnez $312 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = 14 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.7.2

Déplacez $312$ à gauche de $x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 4.8

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Étape 4.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10

Différenciez.

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Étape 4.10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.10.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.10.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (8 {(x^{2} + 7)}^{3} x) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 1))$

Étape 4.16

Multipliez ${(x^{2} + 7)}^{4}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$ .

$14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$