Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(8 x + 3)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 8 x + 3$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x + 3$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} (8 + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$4 {(8 x + 3)}^{3} \cdot 8$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$f' (x) = 32 {(8 x + 3)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 {(8 x + 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 3)}^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 3)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 8 x + 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x + 3$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x + 3$ .

$32 (3 {(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $32$ .

$96 ({(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 3])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} (8 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$96 {(8 x + 3)}^{2} \cdot 8$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $8$ par $96$ .

$f'' (x) = 768 {(8 x + 3)}^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(8 x + 3)}^{2}$ comme $(8 x + 3) (8 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [768 ((8 x + 3) (8 x + 3))]$

Étape 3.2

Développez $(8 x + 3) (8 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3))]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3))]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9)]$

Étape 3.3.2

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 48 x + 9)]$

Étape 3.4

Comme $768$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $768 (64 x^{2} + 48 x + 9)$ par rapport à $x$ est $768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 48 x + 9]$ .

$768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 48 x + 9]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} + 48 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$768 (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.6

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$768 (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$768 (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $64$ .

$768 (128 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.9

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$768 (128 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$768 (128 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.11

Multipliez $48$ par $1$ .

$768 (128 x + 48 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.12

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$768 (128 x + 48 + 0)$

Étape 3.13

Additionnez $128 x + 48$ et $0$ .

$768 (128 x + 48)$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$768 (128 x) + 768 \cdot 48$

Étape 3.14.2

Associez des termes.

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Étape 3.14.2.1

Multipliez $128$ par $768$ .

$98304 x + 768 \cdot 48$

Étape 3.14.2.2

Multipliez $768$ par $48$ .

$f''' (x) = 98304 x + 36864$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $98304 x + 36864$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [36864]$ .

$\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [36864]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [98304 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $98304$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $98304 x$ par rapport à $x$ est $98304 \frac{d}{d x} [x]$ .

$98304 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36864]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$98304 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36864]$

Étape 4.2.3

Multipliez $98304$ par $1$ .

$98304 + \frac{d}{d x} [36864]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $36864$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36864$ par rapport à $x$ est $0$ .

$98304 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $98304$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 98304$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $98304$ .

$98304$