Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} + 16}{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 16$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.9

Associez les fractions.

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Étape 1.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

Étape 1.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{2 x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{2 x^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

Étape 1.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.10.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$

Étape 2.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 4$ et $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + 0)) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \cdot 1) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.2

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + x - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 4 - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.5.8.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 4) (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 8) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.2

Développez $(- 2 x - 8) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 4) - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x + 32) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 32) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 32) x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.10.2.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.2.3

Additionnez $0$ et $32 x$ .

$\frac{32 x}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.3

Associez des termes.

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Étape 2.10.3.1

Annulez le facteur commun à $32$ et $2$ .

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Étape 2.10.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $32 x$ .

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (16 x)}{2 (x^{4})}$

Étape 2.10.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 x}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.10.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x$ .

$\frac{x \cdot 16}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{16}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$16 (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.4

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$- 48 x^{- 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 48$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 48}{x^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{48}{x^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{48}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 48 (- 4 x^{- 5})$

Étape 4.4

Multipliez $- 4$ par $- 48$ .

$192 x^{- 5}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.5.2

Associez $192$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{192}{x^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{192}{x^{5}}$ .

$\frac{192}{x^{5}}$